Briefwechsel Tobias Mayer
| Kurzinformation zum Brief | Zum Original | |
| Verfasser | Euler, Leonhard (1707–1783) | |
| Empfänger | Mayer, Tobias (1723–1762) | |
| Ort | Berlin | |
| Datum | 18. März 1752 | |
| Signatur | SUB Göttingen: Cod. Ms. T. Mayer 15.2, Bl. 18r–19v | |
| Transkription |
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| Übersetzung | Englische Übersetzung von Forbes. |
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Hochedelgebohrner Herr, Hochgeehrtester Herr Professor!
Ewr. Hochedelgeb. schöne Entdeckungen über die Refractionen habe mich veranlasset diese Materie von neuem vorzunehmen. Es sey allso C das centrum terrae, O der locus observatoris, CO = a, Z das Zenith, SMO der radius refractur, OF seine tanges in O, der Winkel ZOF = ζ, der die distantiam sideris apparentem a zenith ausdrückt.
Es sey γ eine solche densitas aeris fixa, daß wenn ein Straal ex vacuo in diesen aerem einfällt, der sinus incidentiae ad sinum refractionis sey = 1 ; &alpa. Wann alllso die densitas aeris ist = q, so wird diese ratio = 1 : α−q/γ und folglich wann ein Straal ex aere cujus denistas = q in einem aerem cujus densitas = r einfällt, so wird der sinus incidentiae ad sinum refractiones wie α−q/γ zu α−r/γ.
Nun sey die densitas aeris In o = k, in M aber oder in P = q, posita distantia CM = CP = x, so daß 1 = k wann x = a und q = 0 wann x = ∞. Setzt man nun den Winkel OCM = φ, so folgt ex natura refractionis diese aequatio
dφ = aα(q − k)/γdx sinζ / √ [xx − aaα(2q − 2k)/γ ⋅sinζ2]
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Oder wann man auf die tangentem in M aus C ein perpendiculum CT zieht, so wird CR = aα(q − k) ⋅sinζ; und wannsic das punctum M in infinitum entfernt, da dann die Tangente SD die asymptota der curvae wird, so kommt das perpendiculum CD = aα−k/γ ⋅ sinζ; und der Winkel OFG wird die Refraction anzeigen, wann nehmlich die distantia sideris infinita angenommen wird. Aus eben der Aequation erhellte, daß der radius osculi curva in M = γα(k − q)/γxdx / (adqlαsinζ), und allso der radius osculi in O = γdx / (dqlαsinζ). Um aber die Natur der Function q von x zu bestimmen, so muß man so wohl auf den calorem als elasticitatem der Luft sehen. Diese wird durch die Höhe des Barometers angezeigt; jener aber durch das Thermometer, ich nehme aber an, daß der Thermometer so eingetheilt ist, daß wann die Höhe des Barometers einerley ist, die gradus a thermometro indicati der densitati aeris reciproce proportional sind. Eine solche Einrichtung des Thermometers scheint der Natur am meisten gemäss zu seyn, es wird aber nicht schwehr seyn andere Einrichtungen dahin zu reduciren. |
Nun betrachte ich einen gradum caloris fixum = c, welchen ich dem aeri densitate = γ praedito gebe, welchem die ratio refrationis 1 : α zukommt; und alsdann wird diese Luft eine gewisse elasticitatem haben, so durch die altitudinem barometri = b angezeigt werden soll. Allso sind b, c, γ und α quantitates fixae, mit welchen ich einen jeglichen anderen statum aeris vergleiche. Ferner sey die densitas mercurii = nγ, so daß n auch ein numerus fixus seyn wird.
Dieses nun vorausgesetzt, so sey in O die densitas aeris = k; die altitudo barometri = h und der gradus caloris = g; in M oder P aber sey die densitas aeris = q, die altitudo barometri = u und der gradus caloris = v, so wird seyn
b / γc = h / gk = U / vq oder k / γ = ch / bg und q / γ = cu / bv.
Da nun die elasticitas dem ponderi atmosphaerae circumventis proportional ist, so muß seyn q dx = −nγdu. Da nun γu = (b / c)⋅qv, so wird q dx = (−nb / c)⋅ (q dv + v dq), woraus das Verhätnüss zwischen q und x bestimmt wird, wann nehmlich der gradus caloris v für eine jegliche Höhe in der Atmosphaer bekannt ist. Es kommt also darauf an, daß man wisse wie der gradus caloris in einer jegliche Höhe beschaffen ist, welches sehr veränderlich seyn kan.Es scheint aber daß der gradus caloris in der Höhe immer abnimmt. Wann man nun setzt, daß in einer Höhe = f über O der gradus caloris nur halb so gross wird, so wird man nicht viel fehlen. Wann man für den gradum caloris in M oder P, posita altitudine OP = x − a = z annimmt v = fg / (f + z), und da dx = dz, so bekommt man daher
q = k(f + z)/f ⋅e− cz (2f + z)/2nbfg, folglich qv = gke− cz(2f + z) / 2nbjg,
daher bekommt man die Höhe des Barometers in P, u =bgk/γc ⋅e−cz(2f + z)/2nbfg
Hieraus wird ferner
dx/dq = dz/dq = (− nbfg (f + z)) / (c (f + z)2 q − nbfgq)
und folglich in 0 wird
dx/dq = −nbfg(f + z) / (cf − nbg)k
Allso wird der radius osculi curvae in O
−nbγfg / (cf &minus nbg)klα⋅sin ξ = −nbbfgg / (cf − nbg)chlα⋅sin ξ
Da wir nun erstlich den radium osculi curvae in O wissen, hernach auch die inclinationem curvae ad verticalem in O nehmlich
den angulum ZOF = ξ, drittens auch bekannt ist, daß die curva einen Asymtoten SD hat, dessen Distanz a centro terrae
ist
CD = aα−k/γ sin ξ = aα−ch/bg sin ξ;
und endlich die Krümmung des radii SMO gewiss fast unmerklich ist, so kan man den radium refractum als eine portionem einer
Hyperbel quasi infinite remotam et ad asymtotam convergentem ansehen, und auf diese Art wird meines Erachtens die wahre
Krümmung des radii am füglichesten bestimmt.
Es sey daher OE eine applicata normalis ad asymptotam und AE die abscissa, man nenne AE = t, OE = y,
so wird pro omnibus curvis possibilibus diese Aequation
dt = − dy (E/ym + F/yn + G/yp + etc.)
stattfinden, da aber y so sehr klein, so kan man alle altiores potestates ipsius y wegwerfen und nur die niedrigste beybehalten,
so daß dt = −E dy / ym; und weil die curva einen asymptoten hat, so kan m nicht kleiner seyn als 1.
Nun setze ich die Refraction oder den Winkel OFE = θ, so wird OGE = θ + ζ. Ferner sey um
abzukürzen α' = 1 − μ und nb/a = ν und f = 1/δ ⋅ nb = ν/δ ⋅ a,
so wird, da μ so sehr klein, lα = − μ und α−k/γ = 1 + μch/bg.
Hieraus findet man folgende Bestimmungen für diese hyperbolische curvam:
I. Da der Winkel OFE = θ, so wird tagθ = −dy/dt = ym/E.
II. Das perpendiculum CD = a (1 + μch/bg)sinθ = y + asin(ζ + θ).
III. Der radius osculi in
O = νabg/(μch(c/g − b)sinθ) = (EE + y2m)½ / mEy2m ⋅ y =
ysecθ3 / mtagθ2 = y / (m sinθ2 cosθ),
da nun θ sehr klein, so ist sinθ2cosθ = θθ und sin (ζ + θ) =
sinζ − ½θθsinζ + θcosζ und wann man setzt (2mD − sinζ2)θθ + 2θsinζcosζ = 2μch/bg ⋅ sinζ2
folglich
θ = sin ζ &radic[(cosζ2 + 2μch/bg ⋅ (2mD − sinζ2) - cosζ) /
2mD − sinζ2]
welche Formul derjenigen, so Ewr. Hochedelgeb. gefunden, nicht sehr unähnlich ist. Draus folget, daß wann der terminus
2μch/bg ˙ (2mD − sinζ2) gar weit kleiner ist als cosζ2, welches geschieht
sol lang der Winkel ζ nicht sehr nahe zu 90° kommt, als dann die refraction seyn werde
θ = μch/bg ˙ tagζ; wo der exponens m nicht in Betrachtung kommt. Die refractio
horizontalis aber wann ζ = 90° wird = √[2μch/bg(2mD − 1)] und dependirt folglich vom exponenten m.
Um denselben zu bestimmen, so habe ich von der evoluta curcae OM den radium osculi gesucht und nach demselben noch die
hyperbolische Linie bestimmt. Da ich dann m < 1 befunden, da nun solches nicht seyn kan, so schliesse daraus,
daß m = 1 annehmen müsse, so daß die curca OM eine logarithmica wird; und alsdann kommt
die refraction horizontalis heraus
= ch/bg √ [2μμ(c/g − δ) / (2ν − μch/bg (c / g − δ))]
NB. Der exponent m soll von ζ dependiren, oder sonst auf eine Art gemacht werden, daß die Refract. Horiz. grösser
wird.
Soll der gradus caloris durch die gantze Höhe der Atmosphaer einerley seyn, so wird δ = 0. wie übrigens
die Refraction von dem Steigen und Fallen so wohl des Barometers als Thermometers dependire, ist für sich klar.
Alles kommt allso nur auf die Valores der Buchstaben μ, ν und δ an, da denn bekannt, daß wann
b und c einen ordinairen statum aeris andeuten seyn werde beynahe μ = 1/3300, und ν = 4μ; nb wird
ungefehr eine Meile betragen.
Ich bin allerdings Ewr. Hochedelgeb. Meynung, daß auch bey entstehender agitatio particularum aetheris desselben
elasticitas verringert werde, indem eine solche agitatio sine quadam confusione virium, quibus efficetur, nicht
entsthen kan. Bey dem Mond weist auch die Theorie noch viele Ungleichheiten, welche wegen grosser Schwierigkeit
des Claculs nicht recht können bestimmt werden. Ausser denen so von der Figur der Erde herrühren und nocht
geneist sind in Betrachtung gezogen werden, entstehen auch verschiedene von der inclination orbitae Lunae ad eclipticam,
welche ziemlich beträchtlich scheinen. Was aber diejenige betrifft, so nur von der anomalia media Solis a Luna ω
dependiren, und Ewr. Hochedelgeb. mit zu überschreiben die Güte gehabt, so kan ich dieselben nicht füglich
mit meinem calculo vergleichen, weil ich diese elementa nicht nach dem motu medio in die Rechnung gebracht. H. Clairaut
hat aber solches gethan, dessen Piece in Petersburg nebst der meinigen gedruckt wird, aber noch nicht absolivrt ist.
Seine Formuale pro longitudine Lunae vera sind nach Ewr. Hochedelgeb. elementis folgende.
Aus dieser Vergleichung werden Ewr. Hochedelgeb. ersehen,
wie weit Dero Bestimmungen mit dem H. Clairaut übereinstimmen.
Inzwischen hat mir dieser geschrieben, daß er in den
seinigen seit der Zeit merkliche Veränderungen gemacht.
Um den motum apogaei recht zu bestimmen hat man
nicht nöthig die excentricität als veränderlich zu betrachten,
sondern nur den terminum 2ω - ρ würklich mit in
die Rechnung zu bringen, wie so wohl H. Clairaut als ich
gethan, ungeacht wir auf gantz verschiedenem Wege dazu
gelanget.
Wegen der Atmosphaer des Monds dörfen Ewr. Hochedelgeb.
gantz und gar nicht meinetwegen Dero Gedanken zurückhalten;
ich habe nur das Phaenomenon bey der eclipsi
annulari beschrieben und meine Gedanken von der Ursach
desselben anführen wollen, worinn ich mich, da nur ein einziges
phaenomen vorhanden ist, leicht geirret haben möchte.
Zu diesem Ende habe ich andere Observationes circa occultationes
stellarum fixarum vorgeschlagen, um darzuthun, ob
der Mond würklich eine subtile Atmosphaer habe oder nicht?
Und dergleichen Observationes sollten meines Erachtens
den gantzen Streit entscheiden. Weil nun dazu ein herrliches
Micrometer erfordert wird, so ist niemand geschickter als
Ew. Hochedelgeb. diese Sach zu erörtern.
Ich habe die Ehre mit der vollkommensten Hochachtung zu verharren.
Ewr. Hochedelgeb.
Berlin, den 18tenMartii ergebenster Diener Darf ich gehorsamst um die Beförderung
des Einschlusses nach Cassel gebeten haben.
Da ich glaube daß solches [ohne Unkosten geschehen] kan.
νbg/ (μch (c/g − δ)) = D, so bekommt man
−
22797
"
sin p
−
22736
"
sin p
+
801
sin 2p
+
772
sin 2p
−
37
sin 3p
−
32
sin 3p
+
680
sin s
+
680
sin s
−
21
sin 2s
−
10
sin 2s
−
113
sin ω
−
106
sin ω
+
2394
sin 2ω
+
2290
sin 2ω
+
27
sin 4ω
+
17
sin 4ω
+
136
sin (p − s)
+
114
sin (p − s)
−
102
sin (p + s)
−
102
sin (p + s)
−
12
sin (2p − s)
...............................
−
4606
sin (2ω − p)
−
4540
sin (2ω − p)
+
43
sin (4ω − 2p)
+
33
sin (4ω − 2p)
...............................
+
36
sin (4ω − 3p)
−
68
sin (4ω − p)
−
43
sin (4ω − p)
−
199
sin (2ω + p)
−
104
sin (2ω + p)
+
40
sin (ω − p)
−
37
sin (ω − p)
+
134
sin (2ω − 2p)
+
200
sin (2ω − 2p)
+
7
sin (ω + p)
...............................
+
9
sin (2ω + 2p)
...............................
−
18
sin (2ω − 3p)
−
60
sin (2ω − 3p)
+
21
sin (2ω + s)
−
23
sin (2ω + s)
−
162
sin (2ω − 2)
−
20
sin (2ω − 2)
−
44
sin (2ω − p + s)
−
55
sin (2ω − p + s)
+
202
sin (2ω − p − s)
+
271
sin (2ω − p − s)
+
22
sin (2ω − 2p + s)
+
88
sin (2ω − 2p + s)
+
29
sin (2ω + p − s)
−
12
sin (2ω − 2p − s)
−
81
sin (2μ)
+
90
sin (2ω − p + 2μ)
wo u bedeutet die distantiam mediam Solis a nodo ☊
+
72
sin (2ω − 2p + 2μ)
1752.
L. Euler
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